Wirowość potencjalna

Wirowość potencjalna, PV – miara ścięcia przepływu wykorzystywana w oceanografii i fizyce atmosfery. Wielkość ta jest kombinacją zasady zachowania wirowości i masy i jest specjalnym przypadkiem twierdzenia Ertela. Zasada zachowania wirowości potencjalnej jest wykorzystywana w fizyce atmosfery i oceanografii do opisu fal Rossby’ego.

Wprowadzenie

Zachowanie wirowości potencjalnej można zrozumieć rozważając mały walec cieczy nieściśliwej i nielepkiej. Na początku, w czasie ${\displaystyle t_{1},}$ walec obraca się z jednorodną prędkością kątową ${\displaystyle \omega _{1}}$ wokół swojej osi. Następnie wysokość walca jest zwiększana, przy zachowaniu jego objętości. Z zasady zachowania momentu pędu wynika że prędkość obrotowa zwiększy się.

Prędkość kątowa jest proporcjonalna do wysokości walca. Jeżeli w chwili ${\displaystyle t_{1}}$ walec ma promień ${\displaystyle r_{1}}$ i masę ${\displaystyle m,}$ to jego moment pędu jest

${\displaystyle L=I_{1}\omega _{1}={\frac {1}{2}}mr_{1}^{2}\omega _{1}.}$

Jeżeli walec zmienia swój promień w chwili ${\displaystyle t_{2},}$ jego moment pędu wynosi

${\displaystyle L=I_{2}\omega _{2}={\frac {1}{2}}mr_{2}^{2}\omega _{2},}$

czyli

${\displaystyle r_{1}^{2}\omega _{1}=r_{2}^{2}\omega _{2},}$

a to oznacza, że

${\displaystyle S_{1}\omega _{1}=S_{2}\omega _{2},}$

gdzie ${\displaystyle S_{1}}$ oraz ${\displaystyle S_{2}}$ są powierzchniami kół będących podstawami walców w chwilach ${\displaystyle t_{1}}$ oraz ${\displaystyle t_{2}.}$

Ponieważ płyn jest nieściśliwy to objętość walców pozostaje taka sama. Wobec tego wysokość jest odwrotnie proporcjonalna do powierzchni bocznej walca. Wynika z tego, że

${\displaystyle {\frac {\omega _{1}}{h_{1}}}={\frac {\omega _{2}}{h_{2}}}}$

lub

${\displaystyle {\frac {\zeta _{1}}{h_{1}}}={\frac {\zeta _{2}}{h_{2}}},}$

ponieważ ${\displaystyle \zeta =2\omega ,}$ z definicji wirowości.

Zachowanie wirowości potencjalnej Rossby’ego

Wirowość potencjalna Rossby’ego jest zdefiniowana jako

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}+\Delta \omega }{\Delta z}},}$

gdzie ${\displaystyle \omega _{0}}$ jest wirowością planetarną, ${\displaystyle \Delta \omega }$ jest wirowością względną (względem przepływu płynu nad powierzchnią Ziemi), ${\displaystyle \Delta z}$ jest grubością jednorodnej warstwy płynu. Dla takiego płynu wirowość potencjalna Rossby’ego jest zachowana.

Wirowość potencjalna Rossby’ego może być zdefiniowana w przepływie, w którym horyzontalne składowe prędkości nie zależą od wysokości, a składowa pionowa prędkości jest mała (płyn barotropowy). Równanie ruchu takiego płynu

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{0}+\Delta \omega }}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(\omega _{0}+\Delta \omega )=-\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\right),}$

natomiast równanie ciągłości dla płynu nieściśliwego

${\displaystyle {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}=-{\frac {\partial v_{Z}}{\partial z}},}$

wobec tego

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{0}+\Delta \omega }}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(\omega _{0}+\Delta \omega )={\frac {\partial v_{z}}{\partial z}},}$

całkując to równanie po wysokości

${\displaystyle {\frac {\Delta z}{\omega }}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(\omega _{0}+\Delta \omega )=\int _{0}^{\Delta z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}dz=v_{z}(\Delta z)-v_{z}(0)={\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}}$

i dzieląc przez ${\displaystyle \Delta z{:}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{0}+\Delta \omega }}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(\omega _{0}+\Delta \omega )={\frac {1}{\Delta z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}.}$

Całkując od czasu ${\displaystyle t_{1}}$ do ${\displaystyle t_{2}}$

${\displaystyle {\frac {\omega _{1}}{\Delta z_{1}}}={\frac {\omega _{2}}{\Delta z_{2}}},}$

co pokazuje, że wirowość potencjalna Rossby’ego jest zachowana dla przepływu barotropowego.

Zastosowania

Przepływ merydionalny

Kolumna powietrza lub wody początkowo w spoczynku na pewnej szerokości geograficznej ma wirowość planetarną związaną z obrotem Ziemi. Jeżeli wysokość tej kolumny się nie zmienia to zasadę zachowania wirowości potencjalnej jest

${\displaystyle \zeta _{abs}=\zeta +f,}$

gdzie wirowość całkowita (absolutna) jest stała.

Jeżeli kolumna powietrza porusza się na północ (oddala się od równika) wtedy jej wirowość względna będzie ujemna ponieważ wirowość planatarna zmniejsza się wraz z wzrastającą szerokością geograficzną. Tak więc ruch w kierunku północnym lub południowym powoduje zmianę wirowości względnej tej kolumny, czyli powoduje ruch antycyklonalny (zgodny ze wskazówkami zegara) lub cyklonalny (przeciwny do wskazówek zegara).

Przepływy strefowe

W czasie przepływu z zachodu na wschód zaburzenie w kierunku północnym powoduje powstanie ujemnej (antycyklonalnej) wirowości i kolumna odchyla się w kierunku południowo-wschodnim. Z zasady zachowania wirowości potencjalnej kolumna ze składową w kierunku południowym będzie miała wirowość dodatnia (cyklonalną). Ten mechanizm prowadzi do powstawania fal Rossby’ego.

Natomiast w przepływie strefowym ze wschodu na zachód, w którym nastąpiło małe zaburzenie ze składową w kierunku północnym kolumna będzie zakrzywiała się coraz bardziej w kierunku północnym.

Uogólniona definicja wirowości potencjalnej

${\displaystyle PV={\frac {{\vec {\xi }}+2{\vec {\Omega }}}{\rho }}\cdot \nabla \Psi ,}$

gdzie:

• ${\displaystyle {\vec {\xi }}=\nabla \times {\vec {u}}}$ – wirowość względna,
• ${\displaystyle 2{\vec {\Omega }}}$ – wirowość planetarna,
• ${\displaystyle \Omega }$ – częstotliwość kołowa,
• ${\displaystyle \rho }$ – gęstość,
• ${\displaystyle \nabla }$ – gradient wektorowy (operator nabla),
• ${\displaystyle \Psi }$ – wielkość skalarna będąca tylko funkcją ciśnienia i gęstości, dla przykładu może to być temperatura potencjalna lub gęstość potencjalna.

Jednostką wirowości potencjalnej PVU (ang. potential vorticity unit) jest

${\displaystyle \mathrm {1\,PVU\equiv {\frac {10^{-6}\cdot K\cdot m^{2}}{kg\cdot s}}} .}$

Źródłami i upustami (ang. source and sink) wirowości potencjalnej są efekty baroklinowe i tarcie.

Jeżeli zachodzą następujące założenia dotyczące przepływu

1. brak tarcia,
2. ${\displaystyle \Psi }$ jest wielkość zachowawczą, czyli ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Psi }{\mathrm {d} t}}=0,}$
3. Przepływ jest barotropowy, czyli ${\displaystyle \nabla \rho \times \nabla p=0}$ lub ${\displaystyle \Psi =\Psi (\rho ,p),}$

to wtedy wirowość potencjalna jest zachowana

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {{\vec {\xi }}+2{\vec {\Omega }}}{\rho }}\cdot \nabla \Psi \right)=0.}$

Z tego wzoru wynika, że wirowość względna ${\displaystyle {\vec {\xi }}}$ zmniejsza się jeżeli wirowość planetarna ${\displaystyle 2{\vec {\Omega }}}$ się zwiększa; dla przykładu kiedy cząstka próbna powietrza porusza się na północ. Jest to równoważne zasadzie zachowania momentu pędu w mechanice.

Przepływ jest adiabatyczny jeżeli ${\displaystyle \Psi }$ jest funkcją tylko ciśnienia i gęstości, ${\displaystyle \Psi =\Psi (\rho ,p).}$ Wtedy

${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\xi +2\Omega \cdot \sin \phi }{H}}\right)=0,}$

gdzie:

• ${\displaystyle \phi }$ – szerokość geograficzna,
• ${\displaystyle H}$ – głębokość (np. ponad górą lub topografią).

Zobacz też

• wir potencjalny

Bibliografia

• Joseph Pedlosky: Geophysical Fluid Dynamícs, Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-96387-1.
• Adrian E. Gill: Atmosphere-Ocean Dynamics, International Geophysics Series, ISBN 0-12-283522-0.
• Jose P. Peixoto: Physics of Climate, Springer Verlag, 1992, ISBN 0-88318-712-4.

Linki zewnętrzne

• Michael E. McIntyre: Potential vorticity (PDF)