Wnętrze (matematyka)

Punkt ${\displaystyle W}$ jest punktem wewnętrznym figury

Wnętrze zbioru (figury, bryły) ${\displaystyle F}$ – pojęcie w geometrii lub topologii; zbiór punktów wewnętrznych podzbioru przestrzeni, czyli tych punktów, które należą do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru ${\displaystyle F}$ oznacza się przez ${\displaystyle \operatorname {int} (F),}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} (F)}$ lub ${\displaystyle F^{\circ }}$.

Własności

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

1. Wnętrze zbioru ${\displaystyle F}$ jest otwartym podzbiorem ${\displaystyle F}$.
2. Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów ${\displaystyle F}$.
3. Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w ${\displaystyle F}$^[1].
4. Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
5. Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu: ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} (S))=\operatorname {int} (S).}$
6. Jeżeli ${\displaystyle S}$ jest podzbiorem ${\displaystyle F,}$ to ${\displaystyle \operatorname {int} (S)}$ jest podzbiorem ${\displaystyle \operatorname {int} (F):S\subset F\Rightarrow \operatorname {int} (S)\subseteq \operatorname {int} (F).}$
7. Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów: ${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap F)=\operatorname {int} (S)\cap \operatorname {int} (F).}$
8. Jeżeli ${\displaystyle S}$ jest zbiorem otwartym, to ${\displaystyle S}$ jest podzbiorem ${\displaystyle F}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle S}$ jest podzbiorem ${\displaystyle \operatorname {int} (F).}$

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to ten sam zbiór może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej nie.

W przestrzeni metrycznej punkt ${\displaystyle p}$ zbioru ${\displaystyle F}$ jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie ${\displaystyle p}$ całkowicie zawarta w zbiorze ${\displaystyle F.}$

Pozostałe własności

1. ${\displaystyle \operatorname {int} \;A\cup \operatorname {int} \;B\subset \operatorname {int} \;(A\cup B)}$ dla dowolnych zbiorów ${\displaystyle A\subset X,\ B\subset X}$
2. ${\displaystyle \bigcup _{s\in S}\operatorname {int} \;A_{s}\subset \operatorname {int} \;\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)}$ dla dowolnej rodziny zbiorów ${\displaystyle \{A_{s}\subset X:s\in S\}}$
3. Dla każdego ${\displaystyle A\subset X}$ mamy
   ${\displaystyle \operatorname {int} \;A=X\setminus \operatorname {cl} \;(X\setminus A)}$
4. ${\displaystyle A\subset X\Rightarrow \operatorname {int} \;A\subset \operatorname {int} \;\operatorname {cl} \;(A)}$
   przykład:
   ${\displaystyle \operatorname {int} \;\mathbb {Q} =\varnothing \subset \operatorname {int} \;\operatorname {cl} \;(\mathbb {Q} )=\mathbb {R} }$

Operacja wnętrza a topologia

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek ${\displaystyle \operatorname {int} (X)=X,}$ gdzie ${\displaystyle X}$ oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze ${\displaystyle X}$^[2].

Przykłady

• W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
• W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
• Niech ${\displaystyle R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
  • wnętrzem przedziału domkniętego ${\displaystyle [a,b]}$ jest przedział otwarty ${\displaystyle (a,b)}$
  • wnętrzem przedziału ${\displaystyle [a,b)}$ jest przedział ${\displaystyle (a,b)}$
  • wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
  • wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
  • wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
  • zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.

Zobacz też

• brzeg
• zewnętrze

Przypisy

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 47.