Wstęga Möbiusa

Model wstęgi Möbiusa wykonany z paska papieru

Wstęga Möbiusa – szczególna powierzchnia jednostronna opisana niezależnie^[1] przez niemieckich matematyków Augusta Möbiusa^[1][2][3] i Johanna Benedicta Listinga^[1][4] w 1858 roku^[1][5][6]: dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna, nieorientowalna z brzegiem.

Jej model można uzyskać, sklejając taśmę końcami przy odwróceniu jednego z końców o kąt 180°^{[7][8][9][10]}. Stylizowana wstęga Möbiusa jest symbolem recyklingu^[11]; w innej stylizacji jest obecna w logotypie Międzynarodówki humanistycznej. W sztuce znana jest z grafiki Mauritsa Cornelisa Eschera przedstawiającej mrówki idące po wstędze Möbiusa^[12].

Wstęga Möbiusa przy odpowiednim ułożeniu przypomina symbol nieskończoności ${\displaystyle \infty ,}$ co może prowadzić do błędnych przypuszczeń, że symbol ten pochodzi od wstęgi Möbiusa^[a].

• 

  Symbol recyklingu

• 

  Logo Międzynarodówki humanistycznej

Konstrukcje

Należy złączyć krawędzie czerwone tak, aby strzałki miały ten sam zwrot

Wykres parametryczny

Relacja równoważności

Wstęgę Möbiusa można skonstruować z prostokąta ${\displaystyle [0;a]\times [0;b]}$ wprowadzając relację ${\displaystyle (x,0)\sim (a-x,b)}$ dla ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant a,}$ która utożsamia dwie przeciwległe krawędzie, wraz z topologią ilorazową względem relacji ${\displaystyle \sim }$^[14].

Parametryzacja

Innym sposobem jest określenie parametryzacji tej powierzchni^[10]. Niech dany będzie odcinek ${\displaystyle AB}$ długości ${\displaystyle 2a}$ i środku ${\displaystyle C}$ poruszający się w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ o początku układu ${\displaystyle O}$ w ten sposób, że punkt ${\displaystyle C}$ zakreśla okrąg sparametryzowany równaniami:

${\displaystyle x(u)=r\cos u,}$

${\displaystyle y(u)=r\sin u,}$

${\displaystyle z(u)=0,}$

gdzie ${\displaystyle 0\leqslant u\leqslant 2\pi }$^[10]. Niech odcinek ${\displaystyle AB}$ będzie stale prostopadły do ${\displaystyle OC,}$ a kąt nachylenia tego odcinka do płaszczyzny ${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon z=0\}}$ niech równa się ${\displaystyle {\tfrac {u}{2}}}$^[10]. Wtedy odcinek ${\displaystyle AB}$ zakreśla wstęgę Möbiusa o parametryzacji:

${\displaystyle x(u,v)=r\cos u-v\sin {\tfrac {u}{2}}\sin u,}$

${\displaystyle y(u,v)=r\sin u+v\sin {\tfrac {u}{2}}\cos u,}$

${\displaystyle z(u,v)=v\cos {\tfrac {u}{2}},}$

gdzie ${\displaystyle 0\leqslant u<2\pi }$ oraz ${\displaystyle -a\leqslant v\leqslant a}$^[10]. Zmiana parametru ${\displaystyle u}$ powoduje poruszanie punktu wzdłuż wstęgi, zmiana parametru ${\displaystyle v}$ – w poprzek.

Własności topologiczne

Wstęgę Möbiusa można zanurzyć w przestrzeni trójwymiarowej. Jej nieorientowalność oznacza, że ma tylko jedną stronę, tzn. jest powierzchnią jednostronną^[1][15][10]. W przypadku gładkich parametryzacji oznacza to, że oś normalna wstęgi Möbiusa nie może być funkcją ciągłą na całej powierzchni wstęgi^[14].

Jej brzeg jest homeomorficzny z okręgiem. Oznacza to, wstęga ma tylko jedną intuicyjnie rozumianą krawędź, w przeciwieństwie np. do powierzchni bocznej walca, która ma dwie krawędzie. „Zaklejenie” tego brzegu (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) kołem daje płaszczyznę rzutową, „zaklejenie” tego brzegu inną wstęgą Möbiusa daje butelkę Kleina^[16]. Płaszczyzna rzutowa i butelka Kleina są innymi przykładami powierzchni nieorientowalnej. Zachodzi ogólna własność: powierzchnia jest nieorientowalna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera podzbiór homeomorficzny ze wstęgą Möbiusa.

Charakterystyka Eulera tej powierzchni jest równa 0^[17][18].

Rozcinanie wstęgi Möbiusa

Jednokrotne przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż linii środkowej w połowie szerokości

Przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż linii środkowej na 1/3 szerokości

Różne sposoby rozcinana wstęgi Möbiusa

Rozcięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż jej linii środkowej nie powoduje jej rozkładu na dwa rozłączne obiekty^[1][7][19], lecz powoduje otrzymanie dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej obręczy (posiadającej dwie strony). Rozcięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż w jednej trzeciej szerokości powoduje otrzymanie jednej węższej wstęgi Möbiusa o długości równej wyjściowej wstędze oraz splecionej z nią dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej obręczy. W wyniku przecięcia taśmy skręconej przed sklejeniem nie o 180°, jak w przypadku wstęgi Möbiusa, ale 360°, otrzymuje się dwa kręgi węzłowe, połączone jak ogniwa w łańcuchu^[19].

Zobacz też

• butelka Kleina

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Möbius Strip, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• ogólnojęzykowa definicja wstęgi Möbiusa w Wielkim słowniku języka polskiego pod redakcją Piotra Żmigrodzkiego