Wykładnicza nierówność Czebyszewa

Wykładnicza nierówność Czebyszewa – nierówność używana w rachunku prawdopodobieństwa, która wynika bezpośrednio z Nierówności Czebyszewa.

Twierdzenie

Dla każdej zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ o wartości oczekiwanej ${\displaystyle E(X),}$ jeśli ${\displaystyle E(e^{pX})<\infty }$ dla pewnego ${\displaystyle p>0,}$ to dla ${\displaystyle \lambda \in [0,p]}$

${\displaystyle P(X\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {E(e^{\lambda X})}{e^{\lambda \varepsilon }}}}$

dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

Dowód

Wykładnicza nierówność Czebyszewa wynika bezpośrednio z podstawienia w nierówności Czebyszewa ${\displaystyle e^{\lambda X}}$ zamiast ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle e^{\lambda \varepsilon }}$ zamiast ${\displaystyle \varepsilon ,}$ której to nierówności dowód jest podany w dotyczącym jej artykule.

Jest tak, ponieważ ${\displaystyle e^{\lambda X}\geqslant e^{\lambda \varepsilon }\iff X\geqslant \varepsilon .}$

Zobacz też

• nierówność Czebyszewa
• nierówność Czebyszewa-Bienayme
• nierówność Markowa