![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Euler%27s_Formula_c.png/440px-Euler%27s_Formula_c.png)
Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera
Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą, określany nazwiskiem Leonharda Eulera.
Wzór
Niech zaś jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać[1]:
- .
Historia
Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci
Euler jako pierwszy opublikował go w formie „standardowej” – tej, która później stała się najczętszą. Zrobił to w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie podał interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).
Dowód
Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje przyjmują postać[2]:
Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje:
- [3],
- [4],
- [4].
Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych[5].
W szczególności mamy:
gdzie skorzystaliśmy z tego, że:
- jeżeli szeregi oraz są zbieżne, to zbieżny jest również szereg oraz: (addytywność);
- jeżeli szereg jest zbieżny, to również szereg jest zbieżny, oraz gdzie c jest stałą (jednorodność).
Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia daje oryginalną tożsamość opisaną przez Eulera.
- Inne uzasadnienie formuły
Niech będzie dana przez Wówczas
Następnie niech Wtedy
dla każdego a stąd jest funkcją stałą. Ponieważ
mamy dla wszystkich Stąd też czyli
Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.
Trygonometria
Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii, dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić, budując odpowiedni układ równań:
Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:
Po dodaniu stronami:
Analogicznie otrzymuje się wzór:
Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie daje:
Zastosowanie
Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone, ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):
Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa, rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera, wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.
Przykłady
- Sinus kąta zwielokrotnionego
Dla całkowitych dodatnich wyrażenia postaci dają się wyrazić za pomocą samych wartości i oraz elementarnych działań.
Korzystając z powyższych wzorów:
Ze wzoru Eulera:
Z dwumianu Newtona:
Wyłączając wspólny czynnik:
i stosując wzór Eulera, dostajemy ostatecznie
Kilka pierwszych wielokrotności:
- Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych
Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:
Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:
Po wymnożeniu jest:
i dalej:
po skróceniu:
dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:
- Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera
Obliczyć całkę:
Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:
W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:
- Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej
Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:
ponieważ jest częścią rzeczywistą możemy zapisać
Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:
A zatem:
Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera[6], w których występują całki postaci i
Tożsamość Eulera
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/ExpIPi.gif/300px-ExpIPi.gif)
Funkcja
wykładnicza ez może być zdefiniowana jako
granica ciągu (1+
z/N)
N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy
z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+
iπ / N)
N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na
płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+
iπ / N)
N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+
iπ / N)
N zbliża się do −1. Zatem
eiπ=-1.
W szczególności, podstawiając otrzymuje się równość:
nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).
Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.
„Najpiękniejszy wzór”
Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:
Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.
Uogólnienie
Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki -tego stopnia sumują się do dla
Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie Powyższą równość można zapisać i w postaci:
ponieważ:
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne