Wzór Eulera

Euler's formula.svg
Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera

Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą, określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

Wzór

Niech zaś jest jednostką urojoną, wtedy wzór Eulera ma postać[1]:

.

Historia

Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci

Euler jako pierwszy opublikował go w formie „standardowej” – tej, która później stała się najczętszą. Zrobił to w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie podał interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).

Dowód

Rozwinięte w szereg potęgowy funkcje przyjmują postać[2]:

Powyższe wzory służą jako definicje zespolonych funkcji exp, sin i cos, tzn. definiuje się funkcje:

[3],
[4],
[4].

Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych[5].

W szczególności mamy:

gdzie skorzystaliśmy z tego, że:

  • jeżeli szeregi oraz są zbieżne, to zbieżny jest również szereg oraz: (addytywność);
  • jeżeli szereg jest zbieżny, to również szereg jest zbieżny, oraz gdzie c jest stałą (jednorodność).

Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia daje oryginalną tożsamość opisaną przez Eulera.

Inne uzasadnienie formuły

Niech będzie dana przez Wówczas

Następnie niech Wtedy

dla każdego a stąd jest funkcją stałą. Ponieważ

mamy dla wszystkich Stąd też czyli

Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.

Trygonometria

Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii, dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić, budując odpowiedni układ równań:

Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:

Po dodaniu stronami:

Analogicznie otrzymuje się wzór:

Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie daje:

Zastosowanie

Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone, ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):

Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa, rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera, wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.

Przykłady

Sinus kąta zwielokrotnionego

Dla całkowitych dodatnich wyrażenia postaci dają się wyrazić za pomocą samych wartości i oraz elementarnych działań.

Korzystając z powyższych wzorów:

Ze wzoru Eulera:

Z dwumianu Newtona:

Wyłączając wspólny czynnik:

i stosując wzór Eulera, dostajemy ostatecznie

Kilka pierwszych wielokrotności:

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych

Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:

Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:

Po wymnożeniu jest:

i dalej:

po skróceniu:

dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:

Całkowanie funkcji trygonometrycznych przy pomocy wzoru Eulera

Obliczyć całkę:

Podstawiając odpowiednie wzory Eulera na sinus i cosinus oraz wymnażając:

W tym miejscu wyrażenie można było scałkować, a dopiero potem zwinąć je do wzorów na sinus i cosinus. Obie metody dają to samo rozwiązanie:

Całkowanie funkcji przy pomocy wzoru Eulera i wykorzystanie części rzeczywistej liczby zespolonej

Użycie wzoru Eulera pozwala na całkowanie również innych funkcji, w których pojawiają się wzory trygonometryczne, jak na przykład:

ponieważ jest częścią rzeczywistą możemy zapisać

Całka po prawej stronie jest łatwa do wyliczenia:

A zatem:

Metody te pomagają przy wyznaczaniu kolejnych współczynników szeregów Fouriera[6], w których występują całki postaci i

Tożsamość Eulera

Funkcja wykładnicza ez może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z/N)N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+ / N)N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie mnożenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+ / N)N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+ / N)N zbliża się do −1. Zatem e=-1.

W szczególności, podstawiając otrzymuje się równość:

nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).

Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.

„Najpiękniejszy wzór”

Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:

Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest zerem.

Uogólnienie

Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki -tego stopnia sumują się do dla

Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie Powyższą równość można zapisać i w postaci:

ponieważ:

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie

ExpIPi.gif
This is a demonstration that Exp(i*Pi)=-1 (called Euler's formula, or Euler's identity). It uses the formula (1+z/N)^N --> Exp(z) (as N increases). The Nth power is displayed as a repeated multiplication in the complex plane. As N increases, you can see that the final result (the last point) approaches -1, the actual value of Exp(i*pi).
Euler's formula.svg
Autor: Oryginał: Gunther
Praca pochodna: Wereon, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Euler's formula illustrated in the complex plane.
Euler's Formula c.png
Autor: Qniemiec, Licencja: CC BY-SA 3.0
Trójwymiarowa ilustracja wzoru Eulera