Wzór Picka

Dla wielokąta na rysunku:
${\displaystyle W=39,\ B=14,}$
ze wzoru Picka pole wielokąta jest równe: ${\displaystyle P=39+7-1=45.}$

Wzór Picka – wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki są punktami kratowymi na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe: ${\displaystyle P=W+{\frac {1}{2}}B-1,}$

gdzie ${\displaystyle W}$ oznacza liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a ${\displaystyle B}$ oznacza liczbę punktów kratowych leżących na brzegu wielokąta.

Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy opisane przez Georga Alexandra Picka w 1899. Można je uogólnić na przestrzeń trzy i więcej wymiarową przez wielomiany Ehrharta. Wzór można też uogólnić na powierzchnie wielościanów.

Uogólnienie dla wielokątów złożonych z trójkątów pierwotnych

Trójkątem pierwotnym jest trójkąt, którego wierzchołki są punktami kratowymi i są to jedyne punkty kratowe. Ze wzoru Picka wynika, że ma on pole ${\displaystyle {\frac {1}{2}}.}$

Rozważmy wielokąt ${\displaystyle R,}$ który ma triangulację na trójkąty pierwotne. Oznaczmy przez ${\displaystyle V}$ liczbę wierzchołków w triangulacji, ${\displaystyle K}$ liczbę krawędzi triangulacji, ${\displaystyle K_{B}}$ liczbę krawędzi brzegowych triangulacji, a ${\displaystyle S}$ liczbę ścian triangulacji.

Zliczając krawędzie ścian triangulacji na dwa sposoby, otrzymujemy równość ${\displaystyle 3S=2K-K_{B}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=2K-K_{B}-2S+2V-2V\\[2pt]&=2V-K_{B}-2(V-K+S)\\[2pt]&=2W+B+(B-K_{B})-2(V-K+S)\\[2pt]&=2W+B-2\chi (R)+\chi (\mathrm {bd} \,R),\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle \chi }$ oznacza charakterystykę Eulera, a ${\displaystyle \mathrm {bd} \,R}$ brzeg figury ${\displaystyle R}$

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}S=W+{\frac {1}{2}}B-\chi (R)+{\frac {1}{2}}\chi (\mathrm {bd} \,R).}$

Wzór ten jest prawidłowy w szczególności dla wielokątów prostych, ponieważ dla nich charakterystyka Eulera jest równa ${\displaystyle 1,}$ a charakterystyka brzegu ${\displaystyle 0.}$

Linki zewnętrzne

• Tom Davis: Pick’s Theorem. [dostęp 2016-12-11].