Wzór de Moivre’a

Wzór de Moivre’a – wzór na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.

Jeżeli ${\displaystyle z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ oraz ${\displaystyle n}$ jest całkowite, to^[1]:

${\displaystyle z^{n}=|z|^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )}$.

Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania):

${\displaystyle z^{\frac {1}{n}}=(|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{\frac {1}{n}}=|z|^{\frac {1}{n}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right),\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.}$

Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku^[2]. Na początku XIX stulecia upowszechniło się nazywanie tego wzoru od jego nazwiska^[3].

Dowód

Dla ${\displaystyle n=1}$ wzór jest oczywisty.

Niech wzór jest prawdziwy dla ${\displaystyle n=k,}$ tzn.

${\displaystyle z^{k}=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi ).}$

Wówczas dla ${\displaystyle n=k+1}$ dostaniemy

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{k+1}&=z^{k}z=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi )\cdot |z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=\\&=|z|^{k+1}(\cos k\varphi \cos \varphi +i\cos k\varphi \sin \varphi +i\sin k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi )=\\&=|z|^{k+1}\left(\cos k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi +i(\sin k\varphi \cos \varphi +\cos k\varphi \sin \varphi )\right)=\\&=|z|^{k+1}\left(\cos(k+1)\varphi +i\sin(k+1)\varphi \right).\end{aligned}}}$

Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego ${\displaystyle n.}$

Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych:

${\displaystyle z^{-n}=\left(z^{-1}\right)^{n}=\left({\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\right)^{n}={\frac {|z|^{n}\left(\cos \varphi -i\sin \varphi \right)^{n}}{|z|^{2n}}}=|z|^{-n}\left(\cos(-n\varphi )+i\sin(-n\varphi )\right).}$

Uwagi

Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1

Należy zwrócić uwagę, że

${\displaystyle 1^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{1}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.}$

Interpretacja ${\displaystyle z^{\frac {1}{n}}}$ w przestrzeni fazowej

Jeżeli liczbę zespoloną ${\displaystyle z}$ zinterpretuje się jako wektor w przestrzeni fazowej ${\displaystyle z=(\Re (z),\Im (z)),}$ to ${\displaystyle z^{\frac {1}{n}}}$ jest zbiorem ${\displaystyle n}$ wektorów, których końce są rozłożone równomiernie (co kąt ${\displaystyle 2\pi /n}$) na okręgu o środku w punkcie ${\displaystyle (0,0).}$

Zobacz też

• argument liczby zespolonej
• liczba sprzężona
• liczby zespolone
• moduł liczby zespolonej

Przypisy