Wzór trapezów

Wzór trapezów – jeden z wzorów służących do przybliżonego obliczania całek oznaczonych w sensie Riemanna. Idea wzoru opiera się na geometrycznej interpretacji całki oznaczonej z funkcji nieujemnej jako pola pod wykresem funkcji.

Jeżeli przedział całkowania ${\displaystyle [a,b]}$ podzielony zostanie punktami ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1}}$ na ${\displaystyle n}$ równych części o długościach ${\displaystyle (b-a)/n,}$ i w figurę ograniczoną na prostymi ${\displaystyle x=a,}$ ${\displaystyle x=b,}$ osią odciętych oraz wykresem funkcji ${\displaystyle y=f(x)}$ wpiszemy trapezy jak pokazano na rysunku poniżej,

to pola kolejnych trapezów wynoszą:

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\cdot {\frac {f(x_{0})+f(x_{1})}{2}},\ {\frac {b-a}{n}}\cdot {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}},\ \dots ,{\frac {b-a}{n}}\cdot {\frac {f(x_{n-1})+f(x_{n})}{2}},}$

gdzie dla jednolitości oznaczono ${\displaystyle a=x_{0}}$ i ${\displaystyle b=x_{n}.}$

Suma pól trapezów jest w przybliżeniu równa polu całego obszaru, czyli:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{{2}{n}}}\left(f(x_{0})+f(x_{n})+2f(x_{1})+\dots +2f(x_{n-1})\right).}$

Ten właśnie wzór nazywany jest wzorem trapezów.

W przypadku funkcji ciągłej na przedziale ${\displaystyle [a,b],}$ wzór trapezów pozwala obliczać jej całkę oznaczoną na tym przedziale z dowolną dokładnością, wystarczy w tym celu wziąć za ${\displaystyle n}$ odpowiednio dużą liczbę. Błąd przybliżenia daje się oszacować w przypadku funkcji, która ma na przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ ciągłą drugą pochodną:

${\displaystyle |R_{n}|\leqslant \left|{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}K\right|,}$

gdzie ${\displaystyle K}$ oznacza największą wartość funkcji ${\displaystyle |f''(x)|}$ w przedziale ${\displaystyle [a,b].}$

Obecnie wzór trapezów ma znaczenie wyłącznie historyczne – dostępne programy do całkowania numerycznego stosują dokładniejsze metody, a użycie komputera pozwala ograniczyć czasochłonne ręczne rachunki.

Zobacz też

• metoda trapezów
• wzór parabol Simpsona
• wzór prostokątów