Wzory Viète’a

Wzory Viète’a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a, który podał je w 1591 roku^[1].

Wzory Viète’a

Niech ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ będą pierwiastkami wielomianu ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},\;a_{n}\neq 0}$ o współczynnikach zespolonych (w szczególności także rzeczywistych). Wówczas prawdziwe są wzory

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\x_{1}x_{2}+\dots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\dots +x_{2}x_{n}+\dots +x_{n-1}x_{n}={\tfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}$

nazywane wzorami Viète’a.

Powyższe wzory są prawdziwe również dla wielomianów w dowolnym pierścieniu przemiennym, przy założeniu, że wielomian ten ma w nim ${\displaystyle n}$ pierwiastków.

Przykłady

Wielomian liniowy

W przypadku wielomianu liniowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych) ${\displaystyle ax+b,\;a\neq 0}$ wzory sprowadzają się do postaci:

${\displaystyle x_{1}=-{\tfrac {b}{a}}.}$

Trójmian kwadratowy

W przypadku trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych^[2] (lub ogólniej, zespolonych) ${\displaystyle ax^{2}+bx+c,\;a\neq 0}$ wzory te przyjmują postać:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\tfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}={\tfrac {c}{a}}\end{cases}}.}$

Wzory te są prawdziwe również, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego ${\displaystyle \Delta <0,}$ wówczas oczywiście oba pierwiastki ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ są zespolone nierzeczywiste.

Wielomian stopnia trzeciego

Dla wielomianów stopnia trzeciego, postaci ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\;a\neq 0,}$ o pierwiastkach ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ wzory te mają postać:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}\end{cases}}}$

Dowód

Przypadek funkcji kwadratowej

Niech ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ będą miejscami zerowymi funkcji kwadratowej ${\displaystyle ax^{2}+bx+c.}$ Wówczas

${\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle -a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}=bx+c}$

Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy odpowiednich potęgach mają równe współczynniki, mamy:

${\displaystyle {\begin{cases}-a(x_{1}+x_{2})=b\\ax_{1}x_{2}=c\end{cases}}}$

a stąd wzory wspomniane wyżej.

Przypadek ogólny

Aby udowodnić wzory Viète’a, piszemy równość

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dots (x-x_{n})}$

(która jest prawdziwa, gdyż ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ są wszystkimi pierwiastkami wielomianu), dokonujemy mnożenia po prawej stronie i przyrównujemy współczynniki. Otrzymujemy

${\displaystyle {\begin{cases}a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})=-a_{n-1}\\a_{n}(x_{1}x_{2}+\dots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\dots +x_{2}x_{n}+\dots +x_{n-1}x_{n})=a_{n-2}\\\vdots \\a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}a_{0}\end{cases}}}$

czyli

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\x_{1}x_{2}+\dots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\dots +x_{2}x_{n}+\dots +x_{n-1}x_{n}={\tfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}$

Przypisy

Bibliografia

• Bolesław Gleichgewicht: Algebra – podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 244.

Linki zewnętrzne

• Wzory Viète’a w zadaniach szkolnych