Złożenie funkcji

Złożenie funkcji, superpozycja funkcji^[1] – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) funkcji (ze zbioru w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, relacji dwuargumentowych, traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.

Definicja

Niech ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ oraz ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję ${\displaystyle h\colon X\to Z}$ taką, że:

${\displaystyle h(x)=g\left(f(x)\right)}$ dla ${\displaystyle x\in X.}$

Funkcje ${\displaystyle f}$ oraz ${\displaystyle g}$ nazywa się funkcjami składanymi, zaś ${\displaystyle h}$ nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany ${\displaystyle \circ .}$ Dla powyższych funkcji

${\displaystyle h=g\circ f,}$

zatem dla dowolnego ${\displaystyle x}$ z dziedziny funkcji ${\displaystyle f}$ mamy równość:

${\displaystyle h(x)=g\left(f(x)\right)=(g\circ f)(x).}$

Własności

Łączność operatora składania oznacza, że ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h,}$ czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis ${\displaystyle f\circ g\circ h.}$

Istotną cechą złożenia funkcji, czyli immanentną cechą operatora ${\displaystyle \circ ,}$ jest nieprzemienność. Złożenie ${\displaystyle g\circ f}$ oznacza relację: ${\displaystyle g}$ «po» ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g}$ «z» lub «dzięki» ${\displaystyle f,}$ czy też ${\displaystyle g}$ «wskutek» lub «utworzony z» ${\displaystyle f}$ (ang. after, of, following, composed).

Tak więc złożenie ${\displaystyle g\circ f}$ nie jest tożsame z ${\displaystyle f\circ g.}$ Jest to (wyjątkowo) możliwe tylko wtedy, gdy zbiór ${\displaystyle X}$ jest tożsamy z ${\displaystyle Z.}$ Mamy wówczas ${\displaystyle f\circ g\colon Y\to Y,}$ a w takim przypadku ${\displaystyle f\circ g}$ na ogół różni się od funkcji ${\displaystyle g\circ f.}$

Przykład

Niech ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=2x+1}$ i ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,g(x)=x^{2}.}$

Wtedy

${\displaystyle (g\circ f)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(g\circ f)(x)=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1,}$

natomiast

${\displaystyle (f\circ g)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(f\circ g)(x)=2(x^{2})+1=2x^{2}+1.}$

Widać, iż ${\displaystyle g\circ f}$ jest inna niż ${\displaystyle f\circ g.}$

Struktura grupy

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład

• ${\displaystyle \Sigma _{X},}$ czyli grupa symetryczna danego zbioru ${\displaystyle X,}$ oznaczana również przez ${\displaystyle S_{X}}$ albo ${\displaystyle \operatorname {Sym} (X),}$ czyli grupa wszystkich bijekcji ${\displaystyle f\colon X\to X.}$
• Zbiór wszystkich odwzorowań ${\displaystyle f\colon X\to X}$ jest półgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobą

Jeżeli ${\displaystyle f\colon X\to X,}$ to można wykonać złożenie ${\displaystyle f}$ samą ze sobą – otrzymaną funkcję ${\displaystyle f\circ f}$ oznacza się zazwyczaj ${\displaystyle f^{2}.}$ Analogicznie, ${\displaystyle f^{3}=f\circ f\circ f}$ itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję ${\displaystyle f,}$ dla której ${\displaystyle (f\circ f)(x)=x}$ nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie ${\displaystyle f^{2}}$ jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli ${\displaystyle f^{2}(x)=f(x)\cdot f(x)}$ dla każdego ${\displaystyle x\in X.}$ W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$ zapis ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ oznacza właśnie ${\displaystyle \sin x\cdot \sin x=(\sin x)^{2}.}$

Zobacz też

• funkcja odwrotna
• reguła łańcuchowa
• teoria kategorii
• układ dynamiczny

Przypisy