Zasada dualności

Zasada dualności (lub dawniej zasada dwoistości[1]) – prawo geometrii rzutowej, mówiące, że dowolne prawdziwe twierdzenie na płaszczyźnie rzutowej zawierające tylko sformułowania:

  • punkt leży na prostej,
  • proste przecinają się w punkcie,
  • punkt należy do stożkowej,
  • prosta jest styczna do stożkowej,

jest równoważne twierdzeniu które można otrzymać, jeśli zamieni się w nim pojęcia "prosta" na "punkt" i odwrotnie (i odpowiednio "przechodzi przez" na "leży na") oraz zwrot "punkt należy do stożkowej" na "prosta jest styczna do stożkowej" i odwrotnie[1][2].

Przykłady

Współliniowość i współpękowość punktów

Do każdego twierdzenia mówiącego o współliniowości danych punktów rzutowych istnieje dualne twierdzenie o współpękowości odpowiadających im prostych dualnych[3].

Twierdzenie Brianchona i Pascala

Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Brianchona i twierdzenie Pascala[1][4][5].

Twierdzenie PascalaTwierdzenie Brianchona
Jeśli:
są różnymi punktami stożkowej są różnymi stycznymi do stożkowej
to trzy
punkty przecięciaproste łączące
odpowiednio
prostej z prostą punkt przecięcia z punktem przecięcia
prostej z prostą punkt przecięcia z punktem przecięcia
prostej z prostą punkt przecięcia z punktem przecięcia
leżą na jednej prostej[1][5].przecinają się w jednym punkcie[1][4].

Twierdzenie Pappusa i Desargues’a

Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Pappusa i twierdzenie Desargues’a[1][6].

Twierdzenie Sylvestera-Gallai

Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Sylvestera-Gallai oraz dualne twierdzenie Sylvestera-Gallai[7].

Twierdzenie Sylvestera-GallaiDualne twierdzenie Sylvestera-Gallai
Każda konfiguracja
prostych,punktów,
która nie jest
pękiem,współliniowa,
generuje co najmniej jeden (jedną)
punkt zwyczajny[7].prostą zwyczajną[7].

Przypisy

  1. ↑ a b c d e f Prof. dr hab. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s.326, Zasada dualności
  2. ↑ Anna Niewiarowska, Rzutowe, afiniczne i euklidesowe twierdzenia o stożkowych, Uniwersytet Warszawski, s.9, rozdział 2.3.1.
  3. ↑ John R. Silvester: Geometry: Ancient and Modern. Oxford University Press, 2001, s. 249.
  4. ↑ a b Prof. dr hab. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s.292, twierdzenie Brianchona
  5. ↑ a b Prof. dr hab. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s.293, twierdzenie Pascala
  6. ↑ Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003, s. 143. ISBN 83-7469-189-1.
  7. ↑ a b c Kenneth H. Rosen: Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press, 2000, s. 833.

Bibliografia

  • K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, Warszawa, 1977.
  • L. Dubikajtis, Wiadomości z geometrii rzutowej, Warszawa, 1972.