Zasadnicze twierdzenie algebry
Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebry – twierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych)[1]. Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry):
Twierdzenie
Stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego zespolonych pierwiastków. Jest to równoważne temu, iż każdy wielomian zespolony stopnia można przedstawić w postaci iloczynu
dla pewnych
Uwaga
Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian jako funkcja ciągła ma własność Darboux – a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).
Historia
Twierdzenie zostało udowodnione w 1799 r. przez Gaussa, który podał później kilkanaście innych dowodów tego twierdzenia. Przed Gaussem co najmniej sześciu innych matematyków podało dowody zasadniczego twierdzenia algebry. W kolejności ukazywania się, dowody były podawane przez d’Alemberta, Eulera, Foncenexa, Lagrange’a, Laplace’a i Wooda. Były one jednak niekompletne lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane. Trzeba zauważyć, że dowód Gaussa również zawierał lukę, chociaż bardziej subtelną[2].
Nazwa
Określenie „zasadnicze (lub podstawowe) twierdzenie algebry” wydaje się dziś nieco przesadzone, powstało ono jednak w czasach, gdy problem rozwiązalności równań algebraicznych był jednym z głównych tematów zainteresowań matematyków.
O dowodach
Dowody zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na „algebraiczne” i „analityczne” (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły „bardziej algebraiczne” dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w „najbardziej algebraicznych” dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie „zupełnie algebraiczny”. Twierdzenia analizy zespolonej takie, jak twierdzenie Liouville’a czy twierdzenie Rouchégo, znacznie upraszczają dowód zasadniczego twierdzenia algebry.
W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty:
- funkcje wielomianowe są ciągłe (na płaszczyźnie zespolonej);
- twierdzenie Weierstrassa: funkcja określona na przestrzeni zwartej o wartościach rzeczywistych osiąga swoje kresy, dokładniej jeśli jest przestrzenią zwartą, a jest rzeczywistą funkcją ciągłą na to istnieją takie punkty że
- oraz
- domknięte i ograniczone podzbiory płaszczyzny zespolonej są zwarte.
Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’a
- Twierdzenie Liouville’a: ograniczona funkcja całkowita jest stała. Innymi słowy: jeżeli funkcja zespolona jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej i nie jest stała, to jest ona nieograniczona.
Niech będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że funkcja jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego istnieje takie że w zewnętrzu okręgu (inaczej mówiąc, dla ) spełniona jest nierówność Niech i będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.
Przypuśćmy, że wielomian nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn. dla każdej liczby zespolonej Wówczas funkcja dana wzorem:
jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla zachodzi nierówność:
ponieważ dla
Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji w kole Rozważmy funkcję
która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element że:
Wynika stąd, że:
Możemy tym samym oszacować funkcję na całej płaszczyźnie:
Wówczas z twierdzenia Liouville’a wynika, że jest stała, ale wtedy:
też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian ma pierwiastek zespolony.
Przykład innego dowodu
Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego
istnieje taka liczba zespolona że
Lemat 1
Jeśli jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to
Dowód
Niech
Wówczas
gdzie:
Z ciągłości funkcji wielomianowej oraz faktu, że dla pewnego spełniony jest warunek
o ile tylko Stąd, jeśli
to
Podstawiając dostajemy
dla wszystkich
Ostatecznie:
oraz
gdy
Istnieje więc takie że teza lematu jest spełniona, mianowicie:
Lemat Cauchy’ego
Dla każdego wielomianu o współczynnikach zespolonych, dla którego istnieje taka liczba że minimum funkcji jest osiągnięte w kole
Dowód
Niech
przy czym Niech ponadto
Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem spełniona jest nierówność Ponieważ koło jest zbiorem zwartym, funkcja przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego spełniającego W szczególności, Zatem jest również minimum globalnym funkcji
Lemat 2
Niech będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek oraz niech będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej istnieje taka liczba zespolona że
Dowód
Niech i będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej wynika, iż istnieje takie że
o ile Niech będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas
Niech wówczas
- dla
Dla każdego istnieje które spełnia powyższą równość.
Jeżeli jest takie, że to:
i twierdzenie zachodzi, ale żeby było to musi być czyli:
Lemat d’Alemberta-Arganda[3][4]
Niech będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek Dla każdej liczby zespolonej dla której istnieje taka liczba że
Dowód
przy czym Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona iż
czyli
Przyjmując otrzymuje się tezę.
Dowód zasadniczego twierdzenia algebry
Z lematu Cauchy’ego i d’Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że i nie istnieje takie że Wówczas z lematu Cauchy’ego wiemy, że istnieje taki promień że minimum globalne jest przyjęte w kole dla pewnego Założyliśmy jednak, że jest zawsze większe od a wtedy z lematu d’Alemberta-Arganda wynika, że istnieje takie, że co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie funkcja przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Algebry twierdzenie podstawowe, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-24] .
- ↑ Fund theorem of algebra, www-groups.dcs.st-and.ac.uk [dostęp 2016-04-04] .
- ↑ J.R. d’Alembert, Recherches sur le calcul intégral, The Histoire de l’Académie des Sciences et des Belles-Lettres (1746) 182–192.
- ↑ J.R. Argand, Philosophie mathématique. Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analyse, „Annales de Mathématiques Pures et Appliquées” 5 (1814–1815), 197–209.
Bibliografia
- Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 105.
Źródła historyczne
- Augustin Louis Cauchy: Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique, 1ère partie: Analyse Algébrique. Wyd. 1992. Paris: Éditions Jacques Gabay, 1821. ISBN 2-87647-053-5.
- Leonhard Euler: Recherches sur les racines imaginaires des équations. T. 5. Berlin: 1751, s. 222–288, seria: Histoire de l’Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin.
- Carl Friedrich Gauss: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Helmstedt: C. G. Fleckeisen, 1799.
- C. F. Gauss, “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree”, 1815
- Hellmuth Kneser , Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus, t. 46, Mathematische Zeitschrift, 1940, s. 287–302, ISSN 0025-5874 .
- Martin Kneser , Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra, t. 177, Mathematische Zeitschrift, 1981, s. 285–287, ISSN 0025-5874 .
- Karl Weierstrass: Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen. 1891, s. 1085–1101.
- Jeff Suzuki. Lagrange’s Proof of the Fundamental Theorem of Algebra. „The Matematical Association Of America Monthly”. 113, s. 705–714, October 2006.
Linki zewnętrzne
- Tomasz Idziaszek , Kolorowanie wielomianów, [w:] pismo „Delta” [online], deltami.edu.pl, październik 2008, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19] (pol.).