Zbiór Cantora

Zbiór Cantorapodzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883[1] przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten odkrył w 1875 Henry John Stephen Smith[2].

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ).

Definicje

Podstawowa konstrukcja

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych takich że

  zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że

zbiór to odcinek

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek ). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór tak, że jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia ). Każdy z odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc (gdzie to „środkowe” odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek jest spełniony).
Zbiory C0, C1, C2, C3, C4, C5 i C6

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

Alternatywna definicja

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać[3]:

gdzie Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Modyfikacje konstrukcji

Odpowiednik zbioru Cantora w 3 wymiarach (kostka Cantora dla - 5 stopni rekurencji) o wymiarze fraktalnym

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory tak że każdy z nich jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych długości Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych tak, że każdy zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia

Następnie, przypuśćmy że zbiór jest już wyznaczony i jest on sumą rozłącznych odcinków domkniętych, W centrum każdego z odcinków wybieramy otwarty pododcinek długości Kładziemy

Zbiory D0, D1, D2, D3, D4, D5

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

Podstawowe właściwości

Trójkowy zbiór Cantora

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue’a zero – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora, którego miara jest dowolną liczbą z przedziału Na przykład opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora ma miarę 1/2 (i jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue’a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mocy

Zbiór Cantora w szerszym sensie

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Topologiczna charakteryzacja zbioru Cantora

Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.

Zobacz też

Przypisy

  1. Cantor, Georg: De la puissance des ensembles parfait de points, „Acta Mathematica” 4 (1884), s. 381–392.
  2. Za: Stewart, Ian: Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos, Blackwell Publishers, Cambridge MA, 1995. ISBN 1-55786-106-4, s. 121.
  3. Zbiór Cantora, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-28].

Media użyte na tej stronie

Cantorcubes.gif
Autor: Mattcomm, Licencja: CC BY-SA 4.0
Cantor cubes for different graining
Smith-Volterra-Cantor set.svg
The generation of the Smith-Volterra-Cantor set. Every step, remove the central 1/22n from each bar. The top bar here is Step 0, the bottom is Step 5.
Cantor set in seven iterations.svg
Cantor set, a fractal, presented in seven iterations.