Zbiór gęsty

Zbiór gęsty – zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny^[1]. W przestrzeni metrycznej ${\displaystyle (X,d)}$ zbiór ${\displaystyle D\subset X}$ nazywamy gęstym jeśli dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ i liczby ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje element ${\displaystyle q\in D}$ taki, że ${\displaystyle d(x,q)<\varepsilon ,}$ tzn. dowolnie blisko każdego elementu ${\displaystyle x\in X}$ znajduje się jakiś element z ${\displaystyle D.}$

Przestrzeń topologiczną, która zawiera przeliczalny zbiór gęsty nazywa się przestrzenią ośrodkową. W przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ jej podzbiór ${\displaystyle A\subset X}$ nazywamy zbiorem nigdziegęstym, jeśli nie jest gęsty w żadnym niepustym zbiorze otwartym.

Przykłady

• zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są gęstymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych z naturalną (euklidesową) metryką.

• Zbiór wielomianów jest gęstym podzbiorem zbioru funkcji ciągłych określonych na zbiorze zwartym z metryką supremum (Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa).

• Zbiór funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie (takich jak Funkcja Weierstrassa) jest gęstym podzbiorem zbioru funkcji ciągłych określonych na zbiorze zwartym z metryką supremum.

• Zbiór funkcji prostych jest gęsty w zbiorze funkcji całkowalnych z metryką generowaną przez normę ${\displaystyle L^{1}}$. Jeśli miara jest miarą Radona to również zbiór funkcji ciągłych jest podzbiorem gęstym.

• Zbiór wielomianów trygonometrycznych jest gęsty w zbiorze funkcji ciągłych i okresowych o okresie ${\displaystyle 2\pi }$ z metryką supremum, co może posłużyć do konstrukcji podzbioru gęstego w zbiorze funkcji ciągłych okresowych o dowolnym danym okresie.
• Dopełnienia zbiorów pierwszej kategorii w przestrzeniach Baire’a są zbiorami gęstymi.
• Zbiory pełnej miary Lebesgue’a na prostej są zbiorami gęstymi.
• Przecięcie dwóch zbiorów gęstych może być zbiorem pustym, np. zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są gęste na prostej, ale ich część wspólna jest zbiorem pustym. Istnieją przestrzenie topologiczne, które nie zawierają więcej niż dwóch rozłącznych podzbiorów gęstych, tzw. irresolvable spaces.

Teoria mnogości

Zbiór gęsty (w sobie) – w teorii mnogości podzbiór ${\displaystyle D}$ częściowego porządku ${\displaystyle (P,<)}$ taki, że

${\displaystyle \forall _{p\in P}\;\exists _{d\in D}\;d<p.}$

Przypisy