Zbiór ograniczony

Zbiór ograniczony – termin używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

Np. na prostej rzeczywistej ograniczone są przedziały liczbowe, które zadane są przez liczby skończone, np. ${\displaystyle \langle -10,3),}$ ${\displaystyle (-10,3\rangle }$ lub ${\displaystyle \langle -10,3\rangle .}$ Nieograniczone zaś są np. ${\displaystyle (-\infty ,3\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle -10,+\infty )}$ i cała prosta.

Porządki częściowe

Niech ${\displaystyle (X,\sqsubseteq )}$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że ${\displaystyle A\subseteq X}$ i ${\displaystyle s\in X.}$ Powiemy, że

• element ${\displaystyle s}$ jest ograniczeniem górnym zbioru ${\displaystyle A}$ jeśli ${\displaystyle (\forall a\in A)(a\sqsubseteq s),}$
• element ${\displaystyle s}$ jest ograniczeniem dolnym zbioru ${\displaystyle A}$ jeśli ${\displaystyle (\forall a\in A)(s\sqsubseteq a)}$^[1].

Każdy element zbioru ${\displaystyle X}$ jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.

Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru ${\displaystyle A,}$ to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy że zbiór jest ograniczony z dołu.

Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest on zawarty w pewnym przedziale.

W szczególności, podzbiór ${\displaystyle A}$ zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.

Przestrzenie metryczne

Ograniczony podzbiór płaszczyzny (u góry) oraz jej nieograniczony podzbiór (na dole)

Niech ${\displaystyle (X,d)}$ będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór ${\displaystyle A}$ przestrzeni ${\displaystyle X}$ nazywany jest zbiorem ograniczonym (w ${\displaystyle X}$), jeżeli jest on zawarty w pewnej kuli^[2]. Równoważnie, jeżeli

${\displaystyle \sup\{d(x,y)\colon x,y\in A\}<\infty .}$

Przestrzenie liniowo-topologiczne

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Powiemy, że zbiór ${\displaystyle A\subseteq X}$ jest ograniczony w ${\displaystyle X,}$ gdy dla każdego otoczenia zera ${\displaystyle U\subseteq X}$ istnieje ${\displaystyle \alpha \in (0,\infty ),}$ że ${\displaystyle A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon u\in U\}.}$

Można wykazać, że jeśli ${\displaystyle X}$ jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.

Zobacz też

• kres dolny i górny
• lemat Kuratowskiego-Zorna
• zbiór całkowicie ograniczony

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Bounded Set, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-09].