Zbiór stacjonarny

Zbiory domknięte nieograniczone (club) – rodzina podzbiorów liczby kardynalnej (traktowanej jako liczba porządkowa) zawierająca zbiory w pewnym sensie duże.

Nazwa club jest skrótem angielskiego terminu closed and unbounded. Niektórzy autorzy używają też nazwy c.u.b. (taka nazwa używana jest m.in. w monografii Kunena^[1])

Definicje formalne

Niech ${\displaystyle \kappa }$ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną (która będziemy traktować jako początkową liczbę porządkową).

• Powiemy, że zbiór ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ jest domknięty jeśli jest on domknięty w topologii porządkowej na ${\displaystyle \kappa ,}$ który to warunek jest równoważny stwierdzeniu, że dla każdej granicznej liczby ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ mamy

${\displaystyle (\forall \beta <\alpha )(\exists \gamma \in C)(\beta <\gamma <\alpha )\quad \Rightarrow \ \alpha \in C.}$

• Zbiór ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ jest nieograniczony w ${\displaystyle \kappa }$ jeśli ${\displaystyle (\forall \alpha <\kappa )(\exists \beta \in C)(\alpha <\beta ).}$
• Powiemy, że zbiór ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ jest clubem w ${\displaystyle \kappa }$ jeśli jest on zarówno domknięty, jak i nieograniczony.
• Zbiór ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$ jest stacjonarnym podzbiorem ${\displaystyle \kappa }$, jeśli ${\displaystyle C\cap S\neq \emptyset }$ dla każdego domkniętego nieograniczonego (tzn. cluba) zbioru ${\displaystyle C\subseteq \kappa .}$
• Zbiór ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$ jest niestacjonarnym podzbiorem ${\displaystyle \kappa }$, jeśli ${\displaystyle S}$ nie jest stacjonarny, czyli gdy ${\displaystyle C\cap S=\emptyset }$ dla pewnego cluba ${\displaystyle C\subseteq \kappa .}$

Własności i przykłady

Niech ${\displaystyle \kappa }$ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną.

• Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych mniejszych niż ${\displaystyle \kappa }$ jest clubem, podobnie jak i zbiór wszystkich granic liczb granicznych.
• Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ o przeliczalnej współkońcowości jest stacjonarnym podzbiorem ${\displaystyle \kappa .}$
• Dla każdej funkcji${\displaystyle g\colon \kappa \to \kappa ,}$ zbiór ${\displaystyle \{\delta <\kappa :(\forall \alpha <\delta )(g(\alpha )<\delta )\}}$ jest clubem w ${\displaystyle \kappa .}$
• Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ jest rodziną clubów na ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle |{\mathcal {C}}|<\kappa ,}$ to przekrój ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}}$ też jest clubem.
• Z powyższej obserwacji wynika, że rodzina

${\displaystyle \{A\subseteq \kappa :C\subseteq A}$ dla pewnego cluba ${\displaystyle C\subseteq \kappa \}}$

jest ${\displaystyle \kappa }$-zupełnym filtrem podzbiorów ${\displaystyle \kappa .}$

Rodzina ${\displaystyle {\mathcal {NS}}_{\kappa }}$ wszystkich niestacjonarnych podzbiorów ${\displaystyle \kappa }$ tworzy ${\displaystyle \kappa }$-zupełny ideał podzbiorów ${\displaystyle \kappa .}$

• Lemat Fodora mówi, że jeśli ${\displaystyle S}$ jest stacjonarnym podzbiorem ${\displaystyle \kappa }$ oraz ${\displaystyle f\colon S\to \kappa }$ jest funkcją taką że ${\displaystyle (\forall \alpha \in S\setminus \{0\})(f(\alpha )<\alpha ),}$ to funkcja ${\displaystyle f}$ jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru ${\displaystyle S.}$ (Odwrotnie, jeśli ${\displaystyle S}$ jest niestacjonarnym podzbiorem ${\displaystyle \kappa ,}$ to istnieje funkcja ${\displaystyle f\colon S\to \kappa }$ taka że ${\displaystyle (\forall \alpha \in S\setminus \{0\})(f(\alpha )<\alpha )}$ która nie jest stała na żadnym nieograniczonym podzbiorze zbioru ${\displaystyle S.}$)

Zobacz też

• diament Jensena
• miara Dieudonnégo

Przypisy