Zbieżność monotoniczna

Zbieżność monotoniczna – własność ciągu liczb rzeczywistych lub funkcji rzeczywistych.

Ciągi liczbowe

Ciąg liczb rzeczywistych ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest monotonicznie zbieżny do liczby ${\displaystyle a,}$ jeśli ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest ciągiem monotonicznym zbieżnym do liczby ${\displaystyle a.}$

Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Zatem ciągi monotonicznie zbieżne to dokładnie ograniczone ciągi monotoniczne.

Ciągi funkcyjne

Niech ${\displaystyle X}$ będzie dowolnym zbiorem oraz ${\displaystyle f_{n},f\colon X\longrightarrow \mathbb {R} .}$

Ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji ${\displaystyle f,}$ jeśli

1. ${\displaystyle {}\quad (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall x\in X){\big (}f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x){\big )}}$ lub ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall x\in X){\big (}f_{n}(x)\geqslant f_{n+1}(x){\big )}}$ oraz
2. ${\displaystyle {}\quad (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny punktowo do funkcji ${\displaystyle f,}$ tzn. dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ mamy, że ${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

Warunek (1) zapewnia, że ciąg ${\displaystyle (f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }}$ jest niemalejący dla dowolnego ${\displaystyle x\in X}$ albo też ciąg jest nierosnący dla dowolnego ${\displaystyle x\in X.}$ Jest to więc mocniejszy warunek niż stwierdzenie, że ciąg ${\displaystyle {\big (}f_{n}(x){\big )}_{n\in \mathbb {N} }}$ jest monotoniczny dla każdego ${\displaystyle x\in X}$.

Przykładowe użycie

• Twierdzenie Diniego: jeśli ${\displaystyle f_{n},f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} }$ są ciągłe, ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji ${\displaystyle f,}$ to ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ zbiega jednostajnie do ${\displaystyle f.}$
• Twierdzenie Lebesgue’a: jeśli ${\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow [0,\infty )}$ są całkowalne w sensie Lebesgue’a i ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji ${\displaystyle f,}$ to ${\displaystyle f}$ jest mierzalna oraz ${\displaystyle {}\int \limits _{[0,1]}f=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{[0,1]}f_{n}.}$

Zobacz też

• funkcja monotoniczna
• szereg funkcyjny
• zbieżność punktowa ciągu funkcji
• zbieżność jednostajna
• twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego