Zbieżność prawie jednostajna

Zbieżność prawie jednostajna ciągu funkcji względem (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku.

Definicja

Niech ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ będzie ciągiem funkcji prawie wszędzie skończonych. ${\displaystyle f_{n},f\colon A\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\mu \colon {\mathfrak {M}}\longrightarrow [0,\infty ]}$ – miara. ${\displaystyle A\in {\mathfrak {M}}.}$
Mówimy, że ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny do funkcji ${\displaystyle f}$ prawie jednostajnie, względem miary ${\displaystyle \mu }$ (na zbiorze ${\displaystyle A}$), wtedy i tylko wtedy, gdy:

${\displaystyle \bigwedge _{\varepsilon >0}\bigvee _{{\mathfrak {M}}\ni B\subset A}}$${\displaystyle \left[\right.\mu (A\setminus B)<\varepsilon \wedge (f_{n}|_{B})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji ${\displaystyle f|_{B}\left]\right..}$

Twierdzenia o zbieżności prawie jednostajnej

• Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie i według miary (do tej samej funkcji).
• Twierdzenie Riesza.
• Twierdzenie Jegorowa.

Zobacz też

• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• warunek Cauchy’ego według miary

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 123.