Zbieżność prawie wszędzie

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary – rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.

Definicja

Teoria miary

Niech ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$ będzie przestrzenią mierzalną oraz niech ${\displaystyle \mu \colon {\mathfrak {M}}\longrightarrow [0,\infty ]}$ będzie miarą. Niech ${\displaystyle (Y,d)}$ będzie przestrzenią metryczną, ${\displaystyle A\in {\mathfrak {M}}}$ oraz ${\displaystyle f_{n},f\colon A\longrightarrow Y.}$

Mówimy, że ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji ${\displaystyle f}$ (względem miary ${\displaystyle \mu }$ na zbiorze ${\displaystyle A}$), jeśli istnieje zbiór mierzalny ${\displaystyle B\subset A,\mu (B)=0}$ taki, że

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ dla ${\displaystyle x\in A\setminus B.}$

Ciąg funkcji ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji ${\displaystyle f,}$ jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji ${\displaystyle f}$ poza zbiorem miary zero.

Teoria prawdopodobieństwa

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech ${\displaystyle X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R} }$ będą zmiennymi losowymi. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych ${\displaystyle (X_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}}$ jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do zmiennej ${\displaystyle X,}$ jeżeli

${\displaystyle P\left(\{\omega \in \Omega :\lim \limits _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\}\right)=1.}$

Przypadek wielowymiarowy

Niech ${\displaystyle X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R} ^{s}}$ będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych ${\displaystyle (X_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}}$ jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora ${\displaystyle X,}$ jeżeli

${\displaystyle \bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\bigcap \limits _{k=n}^{\infty }\{\omega \in \Omega :||X_{k}(\omega )-X(\omega )||<\varepsilon \}\right)=1,}$

gdzie ${\displaystyle ||\cdot ||:\mathbb {R} ^{s}\to [0,\infty )}$ oznacza normę euklidesową w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{s}.}$

Uwagi

• Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
• Zdanie: „ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji ${\displaystyle f}$”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:

${\displaystyle f_{n}{\xrightarrow {p.w.}}f}$

Własności

• Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie.
• Jeśli miara ${\displaystyle \mu }$ jest skończona oraz ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest ${\displaystyle \mu }$-prawie wszędzie zbieżny do funkcji ${\displaystyle f,}$ to ciąg ten jest zbieżny według miary (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.

Zobacz też

• zbieżność według miary
• zbieżność według rozkładu
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Bibliografia

• Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 52. ISBN 83-01-09054-5.