Zjawisko tunelowe

Zjawisko tunelowe zwane też efektem tunelowym – zjawisko przejścia cząstki przez barierę potencjału o wysokości większej niż energia cząstki, opisane przez mechanikę kwantową. Z punktu widzenia fizyki klasycznej stanowi paradoks łamiący klasycznie rozumianą zasadę zachowania energii, gdyż cząstka przez pewien czas przebywa w obszarze zabronionym przez zasadę zachowania energii.

Zjawisko to zostało w 1928 roku zaproponowane przez Gamowa do wyjaśnienia rozpadu jąder. Wykorzystując zjawisko tunelowe, Gamow dokonał obliczeń prowadzących do rezultatów zgodnych z doświadczeniem. Wkrótce obliczenia te zostały potwierdzone przez Condona i Gurneya, którzy uzyskali również rozwiązania dla przypadku syntezy jąder poprzez dołączanie nowych nukleonów. Born uogólnił efekt tunelowy na inne układy kwantowe, nie tylko te związane z potencjałem jądrowym.

Cząstka klasyczna w dole potencjału

Rozpatrzmy dla uproszczenia cząstkę o jednym stopniu swobody mogącą poruszać się tylko wzdłuż osi ${\displaystyle \mathrm {O} x.}$ Niech cząstka ta ma energię kinetyczną ${\displaystyle E_{\mathrm {k} }}$ i znajduje się w dole potencjału. Potencjał ten reprezentowany jest przez energię potencjalną cząstki ${\displaystyle E_{\mathrm {p} }(x).}$ Energia cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej:

${\displaystyle E=E_{\mathrm {k} }+E_{\mathrm {p} }(x).}$

Ponieważ energia kinetyczna jest nieujemna, klasyczna fizyka dopuszcza tylko ruch w obszarach gdzie:

${\displaystyle E-E_{\mathrm {p} }(x)\geqslant 0.}$

Zatem cząstka może przebywać w obszarach ${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$ oraz ${\displaystyle x>x_{3},}$ natomiast w obszarze ${\displaystyle x_{2}<x<x_{3}}$ nie może się znaleźć, ponieważ jej energia kinetyczna byłaby wówczas mniejsza od zera.

Cząstkę taką można traktować jak piłkę toczącą się wewnątrz dołka. Piłka będzie wtaczać się na ściankę dołka tylko do momentu, w którym straci całą energię kinetyczną.

Cząstka kwantowa w dole potencjału

Cząstka α uwalniająca się z potencjału jądra (zielona linia) dzięki zjawisku tunelowemu

W zakresie odległości porównywalnych z rozmiarem atomu dominuje opis kwantowomechaniczny z zastosowaniem praw mechaniki kwantowej^[a]. Za cząstkę kwantową można uważać elektron w stanie stacjonarnym w potencjale atomu lub nukleon w potencjale jądra. W mechanice kwantowej cząstka nie jest bryłą sztywną o określonej wielkości i sprecyzowanym położeniu, choć interpretacja funkcji falowej stanu stacjonarnego powinna skłaniać do przeciwnego wniosku (jeżeli funkcję falową interpretować jako falę mechaniczną, wówczas cząstka powinna się znajdować zawsze pośrodku jamy potencjału; stacjonarność rozwiązań w dowolnej chwili pozbawiłaby cząstkę jakiegokolwiek ruchu, jeżeli tej nie towarzyszyłaby zmiana poziomów energetycznych). Jest reprezentowana przez funkcję falową, która określa prawdopodobieństwo lokalizacji cząstki w określonym obszarze przestrzeni poprzez kwadrat modułu funkcji falowej w tym obszarze.

Postać funkcji falowej w konkretnym obszarze przestrzeni zakłada się, a następnie rozwiązuje równanie Schrödingera dla tego obszaru. Jeżeli analizowany jest jednowymiarowy ruch cząstki, czyli tylko wzdłuż wyróżnionej osi, w polu zadanego potencjału, wówczas do opisu stosuje się równanie Schrödingera w postaci:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-E_{\mathrm {p} }\right)\psi (x).}$

Jest to tak zwane równanie Schrödingera bez czasu ze stacjonarnym, czyli niezależnym od czasu rozwiązaniem odpowiadającym fali stojącej i stałą energią stanu cząstki. Zakłada się, że wewnątrz dołu potencjału równanie to ma rozwiązanie w postaci superpozycji dwu^[1] funkcji falowych interpretowanych jako fale biegnące w przeciwnych kierunkach; dodatnim i ujemnym wzdłuż osi ${\displaystyle \mathrm {O} x{:}}$

${\displaystyle \psi (x)=A\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{1}x}+A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{1}x}.}$

Zakłada się istnienie rozwiązania równania w postaci funkcji falowej w obszarze jamy potencjału, wewnątrz bariery^[2] z czysto urojoną wartością współczynnika ${\displaystyle k,}$ która opisuje tłumienie fali w obszarze dużych wartości potencjału, jak i założoną postać funkcji falowej poza barierą, czyli:

${\displaystyle \psi (x)=B\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{2}x}.}$

Poza barierą potencjału nie istnieje rozwiązanie, które można by interpretować jako falę odbitą, jeżeli miałaby to być jedyna bariera potencjału, dlatego funkcja falowa w tym obszarze nie jest superpozycją. Funkcja falowa musi pozostawać ciągła na granicy obszarów z różną wartością potencjału.

Z tego, że amplituda ${\displaystyle B}$ jest mniejsza od amplitudy ${\displaystyle A,}$ zaś kwadrat amplitudy funkcji falowej określa prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym miejscu, wynika istnienie niezerowego prawdopodobieństwa, że rozwiązanie istnieje poza jamą potencjału, czyli niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia tam cząstki.

Współczynnik przenikania

Prawdopodobieństwo przeniknięcia cząstki przez barierę potencjału równe jest ilorazowi kwadratów amplitud ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle A{:}}$

${\displaystyle P_{\mathrm {t} }={\frac {B^{2}}{A^{2}}}}$

i nazywany jest współczynnikiem przenikania lub współczynnikiem transmisji. Wartość tego współczynnika zależy od energii stanu stacjonarnego cząstki, wysokości i rozciągłości oraz kształtu bariery potencjału, w tym od względnej energii cząstki w obszarze jamy potencjału. Przybliżony wzór na współczynnik przenikania dla bariery o dowolnym kształcie ma postać:

${\displaystyle P_{\mathrm {t} }=\mathrm {e} ^{-{\frac {2}{\hbar }}\int \limits _{x_{2}}^{x_{3}}{{\sqrt {2m\left(E_{\mathrm {p} }-E\right)}}\,\mathrm {d} x}}.}$

Ciągłe i skomplikowane zmiany potencjału przybliża się obszarami założonych stałych wartości potencjału – przybliżenie WKB.

Pojedyncza bariera

Jeżeli cząstka porusza się swobodnie, napotykając po drodze barierę potencjału, wówczas może odbić się od bariery lub ją pokonać. Jeżeli cząstka porusza się wzdłuż osi ${\displaystyle \mathrm {O} x}$ w prawo, wówczas po lewej stronie od bariery rozwiązanie będzie superpozycją funkcji falowych dla cząstki padającej i odbitej:

${\displaystyle \psi (x)=A_{1}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{1}x}+A_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{1}x}.}$

Natomiast po prawej stronie bariery, podobnie jak dla cząstki uwalniającej się z dołu potencjału, funkcja falowa będzie miała postać:

${\displaystyle \psi (x)=B\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{2}x}.}$

Współczynnik przenikania będzie teraz wyrażony wzorem:

${\displaystyle P_{\mathrm {t} }={\frac {B^{2}}{A_{2}^{2}}}.}$

Natomiast wielkość:

${\displaystyle P_{\mathrm {r} }={\frac {A_{1}^{2}}{A_{2}^{2}}}}$

nazywamy współczynnikiem odbicia cząstki od bariery.

Współczynniki odbicia i transmisji cząstki przez barierę mogą być wyznaczane zarówno w przypadku, gdy bariera ma większą wysokość od energii cząstki, jak i wówczas gdy bariera jest niższa od tej energii. W fizyce klasycznej brakuje odpowiednika przykładu z wydostawaniem się cząstki z obszaru, w którym energia stanu stacjonarnego jest mniejsza niż wysokość bariery energetycznej. Podobnie nie jest możliwe, aby klasyczna cząstka odbijała się od bariery potencjału, gdy ma energię wystarczającą do jej pokonania.

Gdy bariera potencjału jest większa od energii cząstki, wówczas prawdziwa jest relacja:

${\displaystyle P_{\mathrm {r} }>P_{\mathrm {t} },}$

w przeciwnym wypadku:

${\displaystyle P_{\mathrm {t} }>P_{\mathrm {r} }.}$

Interpretacja w oparciu o zasadę nieoznaczoności

Efekt tunelowy można wyjaśnić również bez odwoływania się do pojęcia funkcji falowej tylko na podstawie zasady nieoznaczoności. Zgodnie z tą zasadą iloczyn niepewności energii i czasu pomiaru energii musi spełniać warunek:

${\displaystyle \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {h}{4\pi }}.}$

Wynika stąd, że przez pewien krótki moment energia cząstki może wzrosnąć na tyle, że będzie większa od wysokości bariery potencjału i cząstka może znaleźć się po drugiej stronie bariery. W tej interpretacji zjawisko to nie będzie przenikaniem, a raczej wirtualnym (bezczasowym) przeskakiwaniem nad przeszkodą. O ile sam przeskok pozostaje wirtualny, o tyle zlokalizowanie cząstki poza przeszkodą jest już zupełnie realne. Rachunki na konkretnym przykładzie mogą jednak prowadzić do wniosku, że czas istnienia takiej fluktuacji jest krótszy niż czas propagacji na odległość równą rozległości bariery potencjału.

Efekt tunelowy w przyrodzie i w technice

Fuzja jądrowa będąca źródłem energii Słońca zachodzi w dużym stopniu dzięki zjawisku tunelowemu. Zjawisko to umożliwia pokonanie bariery odpychania kulombowskiego jąder atomów w temperaturze niższej, niż wynikałoby to z praw termodynamiki. Efekt tunelowy stwarza również nadzieje na obniżenie temperatury fuzji przeprowadzanej w sposób kontrolowany. Dzięki zjawisku tunelowemu następuje emisja cząstek α w procesie rozpadu promieniotwórczego masywnych jąder atomowych.

We współczesnej technice na zjawisku tunelowym oparte jest funkcjonowanie wielu półprzewodnikowych elementów elektronicznych (np. dioda tunelowa) oraz urządzeń takich jak skaningowy mikroskop tunelowy.

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• P.T. Mathews: Wstęp do mechaniki kwantowej. Wyd. 4. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
• Jay Orear: Fizyka. T. 2. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1998. ISBN 83-204-2451-8.
• I.W. Sawieliew: Wykłady z fizyki. T. 3. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-11606-4.

Linki zewnętrzne

• Sabine Hossenfelder, Understanding Quantum Mechanics #8: The Tunnel Effect, YouTube, 14 listopada 2020 [dostęp 2021-03-14].

Mechanika kwantowa

• Wprowadzenie
• Aparat matematyczny
• Równanie Schrödingera

Tło	Mechanika klasyczna Mechanika kwantowa Ciało doskonale czarne Wczesna teoria kwantowa Interferencja Notacja Diraca Hamiltonian
Koncepcje podstawowe	Funkcja falowa Stan kwantowy Stan podstawowy Stan stacjonarny Równanie własne Cząstka w pudle potencjału Cząstki identyczne Kwantowy oscylator harmoniczny Spin Superpozycja Liczby kwantowe Splątanie kwantowe Pomiar Nieoznaczoność Reguła Pauliego Dualizm korpuskularno-falowy Dekoherencja kwantowa Twierdzenie Ehrenfesta Tunelowanie
Doświadczenia	Doświadczenie Younga Doświadczenie Davissona i Germera Doświadczenie Francka-Hertza Doświadczenie Sterna-Gerlacha Eksperymenty testujące twierdzenie Bella Doświadczenie Poppera Kot Schrödingera Problem testowania bomb Elitzura-Vaidmana Gumka kwantowa
Sformułowania	Obraz Schrödingera Obraz Heisenberga Obraz Diraca Mechanika macierzowa Suma po historiach
Równania	Równanie Schrödingera Równanie Pauliego Równanie Kleina-Gordona Równanie Diraca Wzór Rydberga
Interpretacje	de Broglie'a-Bohma Świadomość wywołuje kolaps Spójne historie kwantowe Kopenhaska Statystyczna Zmiennych ukrytych Wielu światów Logika kwantowa Obiektywnego zalamania Prawdopodobieństwo kwantowe Relacyjna Stochastyczna Transakcjonalna
Zagadnienia zaawansowane	Informatyka kwantowa Teoria rozpraszania Kwantowa teoria pola Operatory kreacji i anihilacji Chaos kwantowy
Znani uczeni	Planck Bohr Sommerfeld Bose Kramers Heisenberg Born Jordan Pauli Dirac de Broglie Schrödinger von Neumann Wigner Feynman Candlin Bohm Everett Bell Wien

(c) Voyajer z angielskojęzycznej Wikipedii, CC-BY-SA-3.0

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$