Twierdzenie Słuckiego

Twierdzenie Słuckiego – w teorii prawdopodobieństwa, twierdzenie o zachowywaniu własności algebraicznych przez granice par ciągów zmiennych losowych z których pierwszy jest zbieżny według rozkładu a drugi zbieżny według prawdopodbieństwa do pewnej stałej. Twierdzenie udowodnione w 1925 przez rosyjskiego matematyka, Jewgienija Słuckiego^[1]; przypisywane także Cramérowi^[2].

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty },(Y_{n})_{n=1}^{\infty }}$ będą ciągami rzeczywistych zmiennych losowych określonych na wspólnej przestrzeni probabilistycznej. Jeżeli

• ciąg ${\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }}$ jest zbieżny według rozkładu do pewnej zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ (symbolicznie ${\displaystyle X_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}X}$),
• ciąg ${\displaystyle (Y_{n})_{n=1}^{\infty }}$ jest zbieżny według prawdopodobieństwa do pewnej stałej ${\displaystyle c}$ (symbolicznie ${\displaystyle Y_{n}{\stackrel {p}{\longrightarrow }}c}$),

to

• ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}X+c.}$
• ${\displaystyle X_{n}\cdot Y_{n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}c\cdot X,}$

oraz w przypadku ${\displaystyle c\neq 0}$

• ${\displaystyle X_{n}Y_{n}^{-1}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}X\cdot c^{-1}}$^[3].

Przypisy

Bibliografia

• Allan Gut, Probability: a graduate course. Springer-Verlag, 2005. ​ISBN 0-387-22833-0​.
• E.B. Manoukian, Mathematical Nonparametric Statistics, Gordon & Breach, New York, 1986.