Wrońskian

Wrońskian – wyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć^[1].

Jednym z zastosowań jest użycie lematu Wrońskiego do znajdowania układów funkcji liniowo niezależnych.

Definicja

Niech ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in C^{(n-1)}(\mathbb {R} )}$ będą ${\displaystyle (n-1)}$-krotnie różniczkowalnymi funkcjami. Macierz funkcji i ich pochodnych kolejnych rzędów

${\displaystyle F(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})={\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix}}}$

nazywa się macierzą fundamentalną^[2] lub macierzą Wrońskiego.

Wrońskianem nazywa się wyznacznik macierzy fundamentalnej,

${\displaystyle W(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})=|F(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})|.}$

W algebrze różniczkowej uogólnia się to pojęcie w naturalny sposób. Niech F będzie ciałem różniczkowym, ${\displaystyle y_{1},y_{2}...,y_{n}\in F.}$ Wrońskianem tych elementów nazywamy wyznacznik macierzy

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y_{1}'&y_{2}'&\cdots &y_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix}}}$

W tym przypadku zachodzi twierdzenie:

Niech F będzie ciałem różniczkowym, C jego ciałem stałych. Wtedy ${\displaystyle y_{1},y_{2}...,y_{n}}$ są liniowo zależne nad C wtedy i tylko wtedy gdy ich wrońskian jest tożsamościowo równy 0^[3].

Własności

Jeżeli funkcje są liniowo zależne w danym zbiorze, to ich wrońskian jest w tym zbiorze tożsamościowo równy zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czego przykładem są funkcje

${\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{dla }}x<0\\0&{\text{dla }}x\geqslant 0\end{cases}}}$

oraz

${\displaystyle f_{2}(x)={\begin{cases}0&{\text{dla }}x<0\\x^{2}&{\text{dla }}x\geqslant 0\end{cases}}.}$

Przykład zastosowania

Sprawdzić czy podane funkcje wektorowe ${\displaystyle y_{1}(t)={\begin{bmatrix}t^{2}\\2t\end{bmatrix}}}$ oraz ${\displaystyle y_{2}(t)={\begin{bmatrix}{\frac {1}{t}}\\-{\frac {1}{t^{2}}}\end{bmatrix}}}$ tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu postaci: ${\displaystyle y'(t)={\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}y(t)\ ,\ t\in (0,\infty ).}$

Rozwiązanie:

Sprawdzamy najpierw czy podane funkcje są rozwiązaniami danego układu równań

a) ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}y_{1}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t^{2}\\2t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2t\\2\end{bmatrix}}=y_{1}'(t)}$ tzn. ${\displaystyle y_{1}}$ jest rozwiązaniem.

b) ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}y_{2}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{t}}\\-{\frac {1}{t^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{t^{2}}}\\{\frac {2}{t^{3}}}\end{bmatrix}}=y_{2}'(t)}$ tzn. ${\displaystyle y_{2}}$ również jest rozwiązaniem.

Aby sprawdzić czy powyższe funkcje tworzą układ liniowo niezależny wykorzystamy wrońskian:

Oznaczmy(jak w definicji wrońskianu): ${\displaystyle f_{1}(t):=t^{2}\ ,\ f_{2}(t):={\frac {1}{t}}.\ f_{1},f_{2}\in C^{1}\ ,\ t\in (0,\infty ).}$

Wtedy: ${\displaystyle f_{1}'(t)=2t\ ,\ f_{2}'(t)=-{\frac {1}{t^{2}}}.}$

c) ${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)\\f_{1}'(t)&f_{2}'(t)\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}y_{1}(t)&|&y_{2}(t)\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}t^{2}&{\frac {1}{t}}\\2t&-{\frac {1}{t^{2}}}\end{bmatrix}}=-1-2=-3\not =0.}$

Wrońskian jest niezerowy, co oznacza, że funkcje tworzą układ liniowo niezależny.

Z podpunktów a), b) i c) oraz z faktu, że rozwiązania należą do przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ wnioskujemy, że układ ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$ jest układem fundamentalnym rozwiązań danego układu równań dla ${\displaystyle t\in (0,\infty ).}$

Przypisy

Bibliografia

• Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania.
• Irving Kaplansky: An introduction to differential algebra.