Zbieżność jednostajna

Zbieżność jednostajna – własność ciągu funkcji o wartościach w danej przestrzeni metrycznej.

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ będzie niepustym zbiorem, a ${\displaystyle (Y,\varrho _{Y})}$ oznacza przestrzeń metryczną. Ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ funkcji ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y}$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ jeżeli

${\displaystyle \forall _{\epsilon >0}\;\exists _{N\in \mathbb {N} }\;\forall _{n\geqslant N}\;\forall _{x\in X}\;\varrho _{Y}{\big (}f_{n}(x),f(x){\big )}<\epsilon .}$

Zapis ten można rozumieć w następujący sposób:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;\sup _{x\in X}{\big (}\varrho _{Y}(f_{n}(x),f(x){\big )})=0.}$

Jeśli ciąg funkcji ${\displaystyle (f_{n})}$ zbiega jednostajnie do funkcji ${\displaystyle f,}$ to o ${\displaystyle f}$ mówi się, że jest granicą jednostajną ciągu ${\displaystyle (f_{n})}$ i pisze ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f.}$

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią topologiczną, to ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ funkcji ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y}$ jest niemal jednostajnie zbieżny do funkcji ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ jeżeli dla każdego zbioru zwartego ${\displaystyle K\subseteq X}$ ciąg ${\displaystyle (f_{n}|_{K})}$ jest jednostajnie zbieżny.

Rys historyczny

• W 1821 Augustin Louis Cauchy opublikował błędny dowód stwierdzenia, że granica punktowa ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Joseph Fourier i Niels Henrik Abel podali kontrprzykład dla tego stwierdzenia, używając szeregów Fouriera.
• Dirichlet zanalizował argumenty Cauchy’ego, znalazł błąd i wskazał dodatkowe założenie potrzebne dla ciągłości funkcji granicznej: zbieżność jednostajną.
• W 1906 Maurice Fréchet opublikował metrykę zbieżności jednostajnej (chociaż twierdził on, że ta metryka była już rozważana wcześniej przez Karla Weierstrassa).

Przykłady

• Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
• Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np. funkcję Dirichleta ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$ i połóżmy ${\displaystyle f_{n}(x)=2^{-n}I_{\mathbb {Q} }(x)}$ dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ Wówczas ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows 0.}$
• Na mocy twierdzenia Weierstrassa każda funkcja ciągła ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,}$ gdzie ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ i ${\displaystyle a<b,}$ jest granicą jednostajną ciągu wielomianów.
• Rozważmy funkcje ${\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to [0,1]}$ zadane w dziedzinie ${\displaystyle x\in [0,1]}$ wzorem ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$ dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Niech ${\displaystyle f\colon [0,1]\to [0,1]}$ będzie dana wzorem

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{dla }}0\leqslant x<1,\\1&{\mbox{dla }}x=1.\end{cases}}}$

Wówczas ${\displaystyle f_{n}\to f,}$ lecz ${\displaystyle f_{n}\not \rightrightarrows f.}$

Własności

• Zbieżność jednostajna pociąga zbieżność punktową.
• Jeśli ${\displaystyle f,g,f_{n},g_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ oraz ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ i ${\displaystyle g_{n}\rightrightarrows g,}$ a ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,}$ to

  ${\displaystyle \alpha f_{n}+\beta g_{n}\rightrightarrows \alpha f+\beta g,}$

  jeśli dodatkowo funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ są ograniczone, to ${\displaystyle f_{n}g_{n}\rightrightarrows fg,}$

  jeśli ponadto dla pewnego ${\displaystyle M>0}$ dla każdego ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ zachodzi ${\displaystyle {\big |}g(x){\big |}>M,}$ to ${\displaystyle {\tfrac {f_{n}}{g_{n}}}\rightrightarrows {\tfrac {f}{g}}.}$

• Jeśli ${\displaystyle f_{n},f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$ są ciągłe i ${\displaystyle f_{n}\to f}$ oraz ${\displaystyle \forall _{n\in \mathbb {N} }\;\forall _{x\in [0,1]}\;f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x),}$ to ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f.}$ (twierdzenie Diniego)
• Jeśli ${\displaystyle X,Y}$ są przestrzeniami metrycznymi, a ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y,}$ są funkcjami ciągłymi, przy czym ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,}$ to ${\displaystyle f}$ również jest funkcją ciągłą.
• Jeśli ${\displaystyle X,Y}$ są przestrzeniami metrycznymi, ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią zupełną, a ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y,}$ to:

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,}$ do pewnej funkcji ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg ${\displaystyle (f_{n})}$ spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, tzn.

${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\exists _{N\in \mathbb {N} }\forall _{n,m\geqslant N}\forall _{x\in X}\;\;\rho _{Y}(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon .}$

• Jeśli ${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ są takimi funkcjami różniczkowalnymi, że ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ oraz ciąg funkcji pochodnych ${\displaystyle f'_{n}\rightrightarrows g,}$ to funkcja ${\displaystyle f}$ jest różniczkowalna i ${\displaystyle f'=g.}$

Pojęcia pokrewne

Austriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921 następujące pojęcia.

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami metrycznymi, a ${\displaystyle f_{n},f\colon X\to Y}$ będą dla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ dowolnymi funkcjami.

Ciąg ${\displaystyle (f_{n})}$ zbiega ciągle do funkcji ${\displaystyle f,}$ jeśli

dla każdego ciągu ${\displaystyle (x_{n})}$ elementów przestrzeni ${\displaystyle X,}$ jeśli ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ to ${\displaystyle f_{n}(x_{n})\to f(x).}$

Ciąg ${\displaystyle (f_{n})}$ zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji ${\displaystyle f,}$ jeśli

dla każdego ciągu ${\displaystyle (x_{n})}$ elementów przestrzeni ${\displaystyle X,}$ jeśli ciąg ${\displaystyle {\big (}f(x_{n}){\big )}}$ jest zbieżny w ${\displaystyle Y,}$ to także ciąg ${\displaystyle {\big (}f_{n}(x_{n}){\big )}}$ jest zbieżny oraz ${\displaystyle f(x_{n})\to f_{n}(x_{n}).}$

Zbieżność jednostajna pociąga ciągłą zbieżność w silnym sensie. Jeśli ${\displaystyle Y}$ jest zwarta, to pojęcie zbieżności ciągłej w silnym sensie pokrywa się z pojęciem zbieżności jednostajnej. Jeśli ${\displaystyle X}$ jest zwarta, to pojęcie ciągłej zbieżności jest równoważne zbieżności jednostajnej.

Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego

Zbieżność w przestrzeniach funkcji ciągłych

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami metrycznymi, a ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$ oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni ${\displaystyle X}$ w przestrzeń ${\displaystyle Y.}$ Dla ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}(X,Y)}$ określamy

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}{\Bigg (}\min {\Big (}1,\varrho _{Y}{\big (}g(x),f(x){\big )}{\Big )}{\Bigg )}}$

Wówczas ${\displaystyle d}$ jest metryką na zbiorze ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$ nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.

• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią zwartą, to topologia zbieżności jednostajnej na ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$ zgadza się z tzw. topologią naturalną, zwaną też topologią zwarto-otwartą, która jest generowana przez podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów postaci

  ${\displaystyle U(C,V)={\big \{}f\in {\mathcal {C}}(X,Y)\colon f[C]\subseteq V{\big \}},}$ gdzie ${\displaystyle C\subseteq X}$ jest zbiorem zwartym, a ${\displaystyle V\subseteq Y}$ jest zbiorem otwartym.

• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią zwartą, a ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią zupełną, to ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,Y)}$ również jest przestrzenią zupełną.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\big (}[0,1],\mathbb {R} {\big )}}$ jest przestrzenią polską.

Zobacz też

• topologia zwarto-otwarta
• zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego
• zbieżność monotoniczna
• zbieżność punktowa ciągu funkcji

Bibliografia

• Maurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), s. 1–74.
• Hahn, Hans: Theorie der reellen Funktionen. Berlin: J. Springer, 1921.
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. siódme rozszerzone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 9.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 47.
• Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 61. ISBN 83-01-05714-9.
• Kuratowski, Kazimierz: Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Uniform Convergence, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].