Graf skierowany

Przykład grafu skierowanego

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka stopień grafu dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu – wszerz – w głąb najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem marszrutyzacji problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego kod Prüfera

Graf skierowany, sgraf^[1], graf zorientowany^[2] digraf, od ang. directed graph, DG – rodzaj grafu rozważanego w teorii grafów. Graf skierowany definiuje się jako uporządkowaną parę zbiorów. Pierwszy z nich zawiera wierzchołki grafu, a drugi składa się z krawędzi grafu, czyli uporządkowanych par wierzchołków. Ruch po grafie możliwy jest tylko w kierunkach wskazywanych przez krawędzie. Graf skierowany można sobie wyobrazić jako sieć ulic, z których każda jest jednokierunkowa. Ruch pod prąd jest zakazany. Najczęściej grafy skierowane przedstawia się jako zbiór punktów reprezentujących wierzchołki połączonych strzałkami (stąd nazwa) albo łukami zakończonymi grotem (strzałką, zwrotem)^[3].

Definicja formalna

Matematyczna definicja zakłada, że graf skierowany ${\displaystyle G}$ to uporządkowana para ${\displaystyle G:=\langle V,A\rangle }$ spełniająca następujące warunki:

1. ${\displaystyle V}$ (vertex) to zbiór wierzchołków,
2. ${\displaystyle A}$ to zbiór uporządkowanych par nazywanych krawędziami skierowanymi, który jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego ${\displaystyle V\times V}$
3. Krawędź:

${\displaystyle e=(a,b)}$

rozumiana jest jako skierowana z wierzchołka ${\displaystyle a}$ do ${\displaystyle b.}$

Alternatywna definicja zakłada, że graf skierowany ${\displaystyle G}$ definiuje dwójka: ${\displaystyle G=\langle V;E\rangle ,}$ gdzie ${\displaystyle V}$ jest dowolnym, niepustym zbiorem zwanym zbiorem wierzchołków, natomiast ${\displaystyle E}$ jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego ${\displaystyle V\times V,}$ czyli:

1. ${\displaystyle V\neq \varnothing ,}$
2. ${\displaystyle E\subseteq P_{2}(V).}$

Elementy rodziny ${\displaystyle E(G)}$ są nazwane krawędziami grafu. Krawędź ${\displaystyle \{u,v\}}$ można w skrócie oznaczać ${\displaystyle uv.}$ Mówimy, że krawędź ${\displaystyle e=uv}$ łączy wierzchołki ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v.}$

Moc zbioru ${\displaystyle V}$ nazywamy rzędem grafu ${\displaystyle G}$ i oznaczamy przez ${\displaystyle |V|,}$ a moc zbioru ${\displaystyle E}$ nazywamy jego rozmiarem i oznaczamy przez ${\displaystyle \|G\|.}$ Niekiedy w definicjach krawędzi zakłada się, że kierunek ruchu pomiędzy nimi jest określany przez kolejny zbiór. W takim podejściu mamy podstawowy graf nieskierowany oraz zbiór określający, które z kierunków ruchu są w nim dozwolone. W efekcie powstaje struktura równoważna dla grafu skierowanego.

Zobacz też

• acykliczny graf skierowany – tzw. DAG
• graf eulerowski
• graf hamiltonowski
• graf nieskierowany
• teoria grafów

Przypisy